整数 $m$ と自然数 $n$ があり、$m$ を $2n-1$ で割ると $n-1$ 余り、$2n+1$ で割ると $n$ 余る。 (1) $2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す。 (2) $n=5$ のときの $m$ を全て求める。 (3) $m$ を $4n^2 - 1$ で割った余りを $n$ で表す。

1. 問題の内容

整数 $m$ と自然数 $n$ があり、$m$ を $2n-1$ で割ると $n-1$ 余り、$2n+1$ で割ると $n$ 余る。

(1) $2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを示す。

(2) $n=5$ のときの $m$ を全て求める。

(3) $m$ を $4n^2 - 1$ で割った余りを $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $2n-1$ と $2n+1$ の最大公約数を $d$ とすると、

$d$ は $(2n+1) - (2n-1) = 2$ を割り切る。

よって $d = 1$ または $d = 2$ である。

しかし、$2n-1$ と $2n+1$ は奇数なので、$d$ は奇数でなければならない。

したがって、$d=1$ であり、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。

(2) $n=5$ のとき、$2n-1 = 9$ で、$2n+1 = 11$ である。

$m$ を $9$ で割ると $n-1 = 4$ 余り、$11$ で割ると $n = 5$ 余る。

よって、ある整数 $k, l$ を用いて

$m = 9k + 4$

$m = 11l + 5$

と表せる。

$9k + 4 = 11l + 5$ より

$9k - 11l = 1$

$9(5) - 11(4) = 1$ であるから、

$9k - 11l = 9(5) - 11(4)$

$9(k-5) = 11(l-4)$

$9$ と $11$ は互いに素なので、$k-5 = 11t$ （$t$ は整数）とおける。

$k = 11t + 5$

$m = 9(11t + 5) + 4 = 99t + 45 + 4 = 99t + 49$

したがって、$m = 99t + 49$ （$t$ は整数）である。

(3) $m$ を $2n-1$ で割ると $n-1$ 余り、$2n+1$ で割ると $n$ 余るから、ある整数 $k, l$ を用いて

$m = (2n-1)k + (n-1)$

$m = (2n+1)l + n$

と表せる。

$(2n-1)k + (n-1) = (2n+1)l + n$ より

$(2n-1)k - (2n+1)l = n+1$

$m = (2n-1)k + (n-1)$ より

$k = \frac{m-(n-1)}{2n-1}$

$m = (2n+1)l + n$ より

$l = \frac{m-n}{2n+1}$

これらより

$m \equiv n-1 \pmod{2n-1}$

$m \equiv n \pmod{2n+1}$

中国剰余定理より、$4n^2-1 = (2n-1)(2n+1)$ なので、

$m \equiv a(2n+1) + b(2n-1) \pmod{4n^2-1}$

$a(2n+1) \equiv n-1 \pmod{2n-1}$

$a(2n+1) \equiv a(2n-1 + 2) \equiv 2a \equiv n-1 \pmod{2n-1}$

$b(2n-1) \equiv n \pmod{2n+1}$

$b(2n-1) \equiv b(2n+1-2) \equiv -2b \equiv n \pmod{2n+1}$

$2a \equiv n-1 \pmod{2n-1}$ より、$2a = n-1 + (2n-1)x$（$x$は整数）

$-2b \equiv n \pmod{2n+1}$ より、$-2b = n + (2n+1)y$（$y$は整数）

$m \equiv (2n+1)(n-1) + (2n-1)(-n) \pmod{4n^2-1}$

$m \equiv 2n^2 - n - 1 - 2n^2 + n \pmod{4n^2-1}$

$m \equiv -1 \pmod{4n^2-1}$

$m \equiv 4n^2 - 2 \pmod{4n^2-1}$

よって余りは $4n^2 - 2$

別解：

$m=(2n-1)a + n-1 = (2n+1)b + n$ とおく。

$(2n-1)a + n-1 = (2n+1)b + n$

$(2n-1)a = (2n+1)b + 1$

$2na-a = 2nb + b + 1$

$2n(a-b) = a+b+1$

$a-b=1$とすると、$2n = a+b+1$ より、$2n = b+1+b+1 = 2b+2$ なので、$b=n-1$, $a=n$

したがって、$m = (2n-1)n + n-1 = 2n^2-n+n-1 = 2n^2-1$

また、$m = (2n+1)(n-1) + n = 2n^2-2n+n-1 + n = 2n^2-1$

$4n^2 - 1 = 2(2n^2 - 1) + 1$

$4n^2-1$ で割った余りは $2n^2-1$

3. 最終的な答え

(1) $2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。

(2) $m = 99t + 49$ ($t$ は整数)

(3) $2n^2-1$