2つの数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha + \beta = 4$、$ \alpha \beta = -5$ が成り立つとき、$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2つの数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha + \beta = 4$、$\alpha \beta = -5$ が成り立つとき、$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解と係数の関係を利用します。

2つの解を $2\alpha$ と $2\beta$ とするとき、求める2次方程式は

$x^2 - (2\alpha + 2\beta)x + (2\alpha)(2\beta) = 0$

と表すことができます。

まず、$2\alpha + 2\beta$ を計算します。

$2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(4) = 8$

次に、$(2\alpha)(2\beta)$ を計算します。

$(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20$

したがって、求める2次方程式は

$x^2 - 8x - 20 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$