2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + x + 4 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

次に、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする2次方程式の解の和と積を計算します。

和は、 $4\alpha + 4\beta = 4(\alpha + \beta) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

積は、$4\alpha \cdot 4\beta = 16 \alpha \beta = 16 \cdot 2 = 32$

求める2次方程式を $x^2 + ax + b = 0$ とすると、解と係数の関係より、

$-a = 4\alpha + 4\beta = -2$

$b = 4\alpha \cdot 4\beta = 32$

よって、$a = 2$、$b = 32$

したがって、求める2次方程式は $x^2 + 2x + 32 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2+2x+32=0$