(1) $-28$ を $3$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) $a, b$ は整数で、$a$ を $8$ で割ると $3$ 余り、$b$ を $8$ で割ると $6$ 余る。このとき、$3a^2 + b^2$ を $8$ で割った余りを求めよ。 (3) 十進法で $400!$ を計算すると、末尾に $0$ がいくつ並ぶか。 (4) $4^{170}$ を $9$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $-28$ を $3$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $a, b$ は整数で、$a$ を $8$ で割ると $3$ 余り、$b$ を $8$ で割ると $6$ 余る。このとき、$3a^2 + b^2$ を $8$ で割った余りを求めよ。

(3) 十進法で $400!$ を計算すると、末尾に $0$ がいくつ並ぶか。

(4) $4^{170}$ を $9$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $-28$ を $3$ で割ると、$-28 = 3 \times (-10) + 2$ なので、余りは $2$。

(2) $a$ を $8$ で割ると $3$ 余るので、$a = 8k + 3$ ( $k$ は整数) と表せる。

$b$ を $8$ で割ると $6$ 余るので、$b = 8l + 6$ ( $l$ は整数) と表せる。

したがって、

$3a^2 + b^2 = 3(8k + 3)^2 + (8l + 6)^2 = 3(64k^2 + 48k + 9) + (64l^2 + 96l + 36) = 192k^2 + 144k + 27 + 64l^2 + 96l + 36 = 192k^2 + 144k + 64l^2 + 96l + 63$

$3a^2 + b^2$ を $8$ で割った余りは、$192k^2 + 144k + 64l^2 + 96l + 63$ を $8$ で割った余りと等しい。

$192k^2, 144k, 64l^2, 96l$ は $8$ で割り切れるので、$63$ を $8$ で割った余りが答えになる。

$63 = 8 \times 7 + 7$ なので、余りは $7$。

(3) $400!$ の末尾に並ぶ $0$ の個数は、$400!$ を素因数分解したときの $5$ の個数で決まる。

$400$ 以下の $5$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{400}{5} \rfloor = 80$。

$400$ 以下の $25$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{400}{25} \rfloor = 16$。

$400$ 以下の $125$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{400}{125} \rfloor = 3$。

$400$ 以下の $625$ の倍数の個数は $\lfloor \frac{400}{625} \rfloor = 0$。

したがって、$400!$ を素因数分解したときの $5$ の個数は $80 + 16 + 3 = 99$。

よって、末尾に並ぶ $0$ の個数は $99$。

(4) $4^{170}$ を $9$ で割った余りを求める。

$4^1 = 4 \equiv 4 \pmod{9}$

$4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$

$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$

$4^3 \equiv 1 \pmod{9}$ なので、

$4^{170} = 4^{3 \times 56 + 2} = (4^3)^{56} \times 4^2 \equiv 1^{56} \times 4^2 \equiv 1 \times 16 \equiv 7 \pmod{9}$

したがって、余りは $7$。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 7

(3) 99

(4) 7