2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta = \frac{c}{a}$$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ において、$a = 2$、$b = 4$、$c = 1$ なので、

$$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$$

$$\alpha\beta = \frac{1}{2}$$

となります。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha\beta$ で表すことを考えます。

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$

より、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$

が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -2$、$\alpha\beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$$

3. 最終的な答え

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