二次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

二次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$ax^2 + bx + c = 0$の解を$\alpha$, $\beta$とすると、解と係数の関係は次のようになります。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題では、$a = 3$, $b = -6$, $c = 2$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{3} = 2$

$\alpha \beta = \frac{2}{3}$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

これに $\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = \frac{2}{3}$ を代入します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)^3 - 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2$

$\alpha^3 + \beta^3 = 8 - 4$

$\alpha^3 + \beta^3 = 4$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \beta^3 = 4$