$x^4 + 324$ を、係数の範囲が有理数の範囲と複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

$x^4 + 324$ を、係数の範囲が有理数の範囲と複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 有理数の範囲での因数分解

$x^4 + 324$ を因数分解するために、平方完成を試みます。

$x^4 + 324 = x^4 + 36x^2 + 324 - 36x^2 = (x^2 + 18)^2 - (6x)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、因数分解できます。

$(x^2 + 18)^2 - (6x)^2 = (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) = (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)$

それぞれの二次式が有理数の範囲で因数分解できるか確認します。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

$x^2 + 6x + 18$ に対して、 $D = 6^2 - 4(1)(18) = 36 - 72 = -36 < 0$

$x^2 - 6x + 18$ に対して、 $D = (-6)^2 - 4(1)(18) = 36 - 72 = -36 < 0$

したがって、どちらの二次式も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

(2) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 6x + 18 = 0$ の解は、$x = \frac{-6 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-6 \pm 6i}{2} = -3 \pm 3i$

$x^2 - 6x + 18 = 0$ の解は、$x = \frac{6 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{6 \pm 6i}{2} = 3 \pm 3i$

したがって、$x^2 + 6x + 18 = (x - (-3 + 3i))(x - (-3 - 3i)) = (x + 3 - 3i)(x + 3 + 3i)$

$x^2 - 6x + 18 = (x - (3 + 3i))(x - (3 - 3i)) = (x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$

したがって、$x^4 + 324 = (x + 3 - 3i)(x + 3 + 3i)(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$

3. 最終的な答え

有理数の範囲：$(x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)$

複素数の範囲：$(x + 3 - 3i)(x + 3 + 3i)(x - 3 - 3i)(x - 3 + 3i)$