5個の文字 a, a, b, b, c から3個を選んで1列に並べる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

5個の文字 a, a, b, b, c から3個を選んで1列に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

文字の種類によって場合分けして考える。

(1) 3個とも同じ文字の場合：

a, a, a, b, b, b, c のように3個とも同じ文字になることはないので、この場合は0通り。

(2) 2個が同じ文字で、残りの1個が異なる文字の場合：

2個同じ文字であるのは、aかbなので、

(2-1) a, a ともう1つ異なる文字を選ぶ場合：

a, a, b の場合と a, a, c の場合がある。

a, a, b の並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。

a, a, c の並べ方も $3!/2! = 3$ 通り。

よって、この場合は $3 + 3 = 6$ 通り。

(2-2) b, b ともう1つ異なる文字を選ぶ場合：

b, b, a の場合と b, b, c の場合がある。

b, b, a の並べ方は $3!/2! = 3$ 通り。

b, b, c の並べ方も $3!/2! = 3$ 通り。

よって、この場合は $3 + 3 = 6$ 通り。

(3) 3個とも異なる文字の場合：

a, b, c の場合だけである。

並べ方は $3! = 6$ 通り。

したがって、すべての場合は

$6 + 6 + 6 = 18$ 通り。

3. 最終的な答え

18通り