与えられた行列 $A$ に対して、逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、逆行列が存在するような $a$ の値を求め、そのときの逆行列を求める問題です。行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式を計算します。

(2) 行列式が0にならない条件から、$a$ の値を求めます。

(3) 求めた $a$ の値に対して、行列 $A$ の余因子行列を求めます。

(4) 余因子行列の転置行列（随伴行列）を求めます。

(5) 逆行列 $A^{-1}$ を $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ で計算します。ここで $\det(A)$ は行列式、$\text{adj}(A)$ は随伴行列を表します。

行列式 $det(A)$ を計算します。

$det(A) = 1 \cdot (a \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - (-1) \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot a) + (-a) \cdot (1 \cdot 1 - a \cdot a)$

$= (-a - 1) + (-1 - a) + (-a) \cdot (1 - a^2)$

$= -a - 1 - 1 - a - a + a^3$

$= a^3 - 3a - 2$

$= (a+1)(a^2 -a -2)$

$= (a+1)(a+1)(a-2)$

$= (a+1)^2 (a-2)$

逆行列が存在するためには、行列式が0でない必要があります。したがって、

$(a+1)^2 (a-2) \neq 0$

$a \neq -1, a \neq 2$

$a=-1$のとき

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

この行列式は0なので逆行列は存在しない。

$a=2$のとき

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

この行列式は0なので逆行列は存在しない。

$a \neq -1, 2$ のとき、逆行列が存在する。

このときの逆行列を計算するために、余因子を計算する。

$C_{11} = (2)(-1)-(1)(1) = -3$

$C_{12} = -(1(-1)-1(2)) = 3$

$C_{13} = 1(1)-2(2) = -3$

$C_{21} = -((-1)(-1) - (-a)(1)) = -(1+a)$

$C_{22} = 1(-1)-(-a)(a) = a^2-1$

$C_{23} = -(1(1)-(-1)a) = -(1+a)$

$C_{31} = (-1)(1)-(-a)(a) = a^2-a$

$C_{32} = -(1(1)-(-a)(1)) = -(1+a)$

$C_{33} = 1(a)-(-1)(1) = a+1$

$C = \begin{bmatrix} -3 & 3 & -3 \\ -(1+a) & a^2-1 & -(1+a) \\ a^2-a & -(1+a) & a+1 \end{bmatrix}$

$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -3 & -(1+a) & a^2-a \\ 3 & a^2-1 & -(1+a) \\ -3 & -(1+a) & a+1 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{(a+1)^2 (a-2)} \begin{bmatrix} -3 & -(1+a) & a^2-a \\ 3 & a^2-1 & -(1+a) \\ -3 & -(1+a) & a+1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$a \neq -1, 2$ のとき、逆行列が存在し、

$A^{-1} = \frac{1}{(a+1)^2 (a-2)} \begin{bmatrix} -3 & -(1+a) & a^2-a \\ 3 & a^2-1 & -(1+a) \\ -3 & -(1+a) & a+1 \end{bmatrix}$