放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の問いに答える。 (1) この放物線の頂点Aの座標を求める。 (2) この放物線を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。

## 問題 5

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について、以下の問いに答える。

(1) この放物線の頂点Aの座標を求める。

(2) この放物線を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点Aの座標を求める。

放物線の方程式を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

よって、頂点Aの座標は $(1, -3)$ である。

(2) 平行移動後の放物線の方程式を求める。

放物線 $y = 2(x - 1)^2 - 3$ を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動する。

x軸方向に2だけ平行移動するには、$x$ を $x - 2$ に置き換える。

y軸方向に-1だけ平行移動するには、$y$ を $y + 1$ に置き換える。

よって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y + 1 = 2(x - 2 - 1)^2 - 3$

$y + 1 = 2(x - 3)^2 - 3$

$y = 2(x - 3)^2 - 3 - 1$

$y = 2(x - 3)^2 - 4$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

3. 最終的な答え

(1) 頂点Aの座標: $(1, -3)$

(2) 平行移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$