地上から真上に打ち上げた砲丸の $t$ 秒後の高さが $(24t - 3t^2)$ m で与えられています。砲丸が最高点に達するまでの時間と、その時の高さを求めます。

1. 問題の内容

地上から真上に打ち上げた砲丸の $t$ 秒後の高さが $(24t - 3t^2)$ m で与えられています。砲丸が最高点に達するまでの時間と、その時の高さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、砲丸の高さ $h(t)$ を時間 $t$ で微分して、速度 $v(t)$ を求めます。

$v(t) = \frac{dh(t)}{dt} = \frac{d(24t - 3t^2)}{dt} = 24 - 6t$

砲丸が最高点に達する時、速度は0になります。したがって、$v(t) = 0$ を解いて、最高点に達する時間を求めます。

$24 - 6t = 0$

$6t = 24$

$t = \frac{24}{6} = 4$

したがって、砲丸が最高点に達するのは打ち上げから4秒後です。

次に、最高点に達する時の高さを求めます。$t = 4$ を高さの式 $h(t) = 24t - 3t^2$ に代入します。

$h(4) = 24(4) - 3(4^2) = 96 - 3(16) = 96 - 48 = 48$

したがって、最高点の高さは48 mです。

3. 最終的な答え

打ち上げから最高点に達するまでの時間は 4 秒後です。

最高点の高さは 48 m です。