$n$が5以上の整数のとき、不等式 $2^n > n^2$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$n$が5以上の整数のとき、不等式 $2^n > n^2$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 5$ のとき:

左辺: $2^5 = 32$

右辺: $5^2 = 25$

よって、$2^5 > 5^2$ が成り立つ。

(2) $n = k$ ($k \geq 5$) のとき、$2^k > k^2$ が成り立つと仮定する。

(3) $n = k+1$ のとき、$2^{k+1} > (k+1)^2$ が成り立つことを示す。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

帰納法の仮定より、$2^k > k^2$ なので、

$2^{k+1} > 2k^2$

ここで、$2k^2 > (k+1)^2$ を示す。

$2k^2 - (k+1)^2 = 2k^2 - (k^2 + 2k + 1) = k^2 - 2k - 1$

$k^2 - 2k - 1 > 0$ を示す。

$k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2$

$k \geq 5$ なので、$(k-1)^2 \geq 16$

したがって、$(k-1)^2 - 2 \geq 16 - 2 = 14 > 0$

よって、$k^2 - 2k - 1 > 0$ であるから、$2k^2 > (k+1)^2$ が成り立つ。

したがって、$2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ となり、$2^{k+1} > (k+1)^2$ が成り立つ。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、$n \geq 5$ の全ての整数 $n$ に対して、$2^n > n^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n$が5以上の整数のとき、不等式 $2^n > n^2$ が成り立つ。