数列 $\{a_n\}$ は $a_1=2$, $a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n}$ で定義されています。 (1) $a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めなさい。 (2) 第 $n$ 項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法によって証明しなさい。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1=2$, $a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n}$ で定義されています。

(1) $a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めなさい。

(2) 第 $n$ 項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法によって証明しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 数列の漸化式 $a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n}$ を繰り返し用いて $a_2, a_3, a_4, a_5$ を計算します。

$a_1 = 2$

$a_2 = 2 - \frac{1}{a_1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$a_3 = 2 - \frac{1}{a_2} = 2 - \frac{1}{3/2} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$a_4 = 2 - \frac{1}{a_3} = 2 - \frac{1}{4/3} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

$a_5 = 2 - \frac{1}{a_4} = 2 - \frac{1}{5/4} = 2 - \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

(2) (1) の結果から、$a_n = \frac{n+1}{n}$ と推定できます。これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1+1}{1} = 2$ となり、成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k+1}{k}$ が成り立つと仮定する。

このとき、$a_{k+1} = 2 - \frac{1}{a_k} = 2 - \frac{1}{(k+1)/k} = 2 - \frac{k}{k+1} = \frac{2(k+1)-k}{k+1} = \frac{2k+2-k}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}$ となる。

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$a_n = \frac{n+1}{n}$ がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{3}{2}, a_3 = \frac{4}{3}, a_4 = \frac{5}{4}, a_5 = \frac{6}{5}$

(2) $a_n = \frac{n+1}{n}$