実数 $a$ を係数に持つ2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$ が与えられています。 (1) この2次方程式が異なる2つの実数解を持つときの、$a$ の値の範囲を求めます。 (2) $a = 2$ であることが、2次方程式が重解を持つための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは、いずれでもないのかを判定します。

1. 問題の内容

実数 $a$ を係数に持つ2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$ が与えられています。

(1) この2次方程式が異なる2つの実数解を持つときの、$a$ の値の範囲を求めます。

(2) $a = 2$ であることが、2次方程式が重解を持つための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは、いずれでもないのかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が正であることです。

判別式 $D$ は $D = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - 3) = a^2 - 4a^2 + 12 = -3a^2 + 12$ となります。

したがって、$D > 0$ より、 $-3a^2 + 12 > 0$。

$3a^2 < 12$

$a^2 < 4$

$-2 < a < 2$

(2) 2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が0であることです。

$D = -3a^2 + 12 = 0$

$3a^2 = 12$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a = 2$ は、$a = \pm 2$ の一方の解なので、重解を持つための十分条件ではありません。

また、$a = 2$ は、重解を持つための必要条件でもありません。なぜなら、$a = -2$ の場合も重解を持つからです。

$a = 2$ であることは、重解を持つための条件ではありません。

3. 最終的な答え

異なる2つの実数解を持つときの、$a$ の範囲は $-2 < a < 2$ です。

$a = 2$ は2次方程式が重解を持つための必要条件でも十分条件でもない。