数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 1$, $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^n a_k$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ によって定義されるとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1 = 1$, $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^n a_k$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ によって定義されるとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であるから、

$1 \cdot a_2 = 2 \sum_{k=1}^1 a_k = 2 a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

よって、$a_2 = 2$ となります。

与えられた漸化式において、$n$ を $n-1$ に置き換えることで、

$(n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ $(n \ge 2)$

を得ます。

ここで、$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^n a_k$ より、

$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k + 2a_n$

です。

$(n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ を代入して、

$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n$

$na_{n+1} = (n+1)a_n$

よって、$a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ $(n \ge 2)$

この漸化式を繰り返し用いることで、$a_n$ を $a_2$ を用いて表します。

$a_n = \frac{n}{n-1} a_{n-1} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} a_{n-2} = \dots = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} \dots \frac{3}{2} a_2$

よって、$a_n = \frac{n}{2} a_2$ となります。

$a_2 = 2$ であったので、$a_n = \frac{n}{2} \cdot 2 = n$ $(n \ge 2)$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であり、$n \ge 2$ のとき $a_n = n$ であるから、$n \ge 1$ に対して $a_n = n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = n$