$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を利用して、与えられた多項式の根を探します。つまり、$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3 = 0$ となるような $x$ の値をいくつか見つけます。

定数項が $3$ なので、$x$ は $3$ の約数 $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{3}{8}$ となる可能性があります。

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$8(\frac{1}{2})^3 + 4(\frac{1}{2})^2 - 10(\frac{1}{2}) + 3 = 8(\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) - 5 + 3 = 1 + 1 - 5 + 3 = 0$

となるため、$x = \frac{1}{2}$ は根の一つです。したがって、$2x - 1$ は因数となります。

次に、$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3$ を $2x - 1$ で割ります。

$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3 = (2x - 1)(4x^2 + 4x - 3)$

次に、$4x^2 + 4x - 3$ を因数分解します。

$4x^2 + 4x - 3 = (2x - 1)(2x + 3)$

よって、$8x^3 + 4x^2 - 10x + 3 = (2x - 1)(2x - 1)(2x + 3) = (2x - 1)^2(2x + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)^2(2x + 3)$