数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 1$ および漸化式 $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められている。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 1$ および漸化式 $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められている。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を以下のように変形する。

$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$ ...(1)

$n$ を $n-1$ に置き換えると（$n \ge 2$ のとき）、

$(n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ ...(2)

(1)式から(2)式を引くと、

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2a_n$

$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n = (n+1)a_n$

したがって、$a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ ($n \ge 2$)

ここで、$a_2$ を求める。

(1)式で $n=1$ とすると、$1 \cdot a_2 = 2 \sum_{k=1}^{1} a_k = 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

よって、$a_2 = 2$

漸化式 $a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ を繰り返し用いると、

$a_n = \frac{n}{n-1} a_{n-1} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} a_{n-2} = \dots = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} \cdots \frac{3}{2} a_2$

$a_n = \frac{n}{2} a_2 = \frac{n}{2} \cdot 2 = n$ ($n \ge 2$)

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であるから、$a_n = n$ は $n=1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n$