問題は、数列の和 $S$ を求める問題です。数列の第 $k$ 項は $\frac{1}{1+2+3+\dots+k}$ で表され、この式を簡単にして、最終的に $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2+3+\dots+k}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題は、数列の和 $S$ を求める問題です。数列の第 $k$ 項は $\frac{1}{1+2+3+\dots+k}$ で表され、この式を簡単にして、最終的に $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2+3+\dots+k}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $k$ 項を簡単にする。

$1+2+3+\dots+k = \frac{1}{2}k(k+1)$ であるから、

$\frac{1}{1+2+3+\dots+k} = \frac{1}{\frac{1}{2}k(k+1)} = \frac{2}{k(k+1)}$

次に、$\frac{2}{k(k+1)}$ を部分分数分解する。

$\frac{2}{k(k+1)} = 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

したがって、$S$ は

$S = \sum_{k=1}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

この和を展開すると、

$S = 2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})]$

これはtelescoping sum（隣り合う項が打ち消しあう和）なので、最初の項と最後の項だけが残る。

$S = 2(1 - \frac{1}{n+1})$

$S = 2(\frac{n+1-1}{n+1}) = 2(\frac{n}{n+1}) = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{n+1}$