(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ のグラフの $1 \le x \le e$ の部分の長さを求めよ。 (2) 底面の半径が1の円柱2本が垂直に交わっているとき、その共通部分の体積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ のグラフの $1 \le x \le e$ の部分の長さを求めよ。

(2) 底面の半径が1の円柱2本が垂直に交わっているとき、その共通部分の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) グラフの長さを求める。

* $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \log x$ より、

$f'(x) = x - \frac{1}{x}$

* 曲線の長さの公式を用いる。

曲線の長さ $L$ は、

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

今回は $a = 1$, $b = e$ なので、

$L = \int_1^e \sqrt{1 + (x - \frac{1}{x})^2} dx$

* 積分を計算する。

$L = \int_1^e \sqrt{1 + (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2})} dx = \int_1^e \sqrt{x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}} dx = \int_1^e \sqrt{(x + \frac{1}{x})^2} dx$

$L = \int_1^e (x + \frac{1}{x}) dx = [\frac{1}{2}x^2 + \log x]_1^e = (\frac{1}{2}e^2 + \log e) - (\frac{1}{2} + \log 1) = \frac{1}{2}e^2 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}$

(2) 共通部分の体積を求める。

* 共通部分の立体を考える。これは、2つの円柱の軸が交わる点に関して対称である。

* 一方の円柱の軸に垂直な平面で切断すると、断面は正方形になる。正方形の一辺の長さは、もう一方の円柱の半径に依存する。

* 断面の正方形の一辺の長さは $2y$ と表される。ここで、$y$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点の $y$ 座標である。従って、$y = \sqrt{1 - x^2}$ であり、正方形の一辺の長さは $2\sqrt{1-x^2}$ となる。

* 正方形の面積は $(2\sqrt{1-x^2})^2 = 4(1-x^2)$ となる。

* 体積を計算するために、この面積を $x$ について $-1$ から $1$ まで積分する。

$V = \int_{-1}^1 4(1-x^2) dx = 4 \int_{-1}^1 (1-x^2) dx = 4 [x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 = 4 [(1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})] = 4 (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^2 + 1}{2}$

(2) $\frac{16}{3}$