与えられた関数について、勾配ベクトルを求めたり、指定された点における勾配ベクトルや方向微分係数を求めたりする問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。 (2) $f(x, y) = x^y$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。 (3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、 (a) $\nabla f(-7, 6)$ を求める。 (b) 方向ベクトル $(1, 2)$ をもつ方向 $e$ について $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求める。 (c) $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数について、勾配ベクトルを求めたり、指定された点における勾配ベクトルや方向微分係数を求めたりする問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

(2) $f(x, y) = x^y$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

(3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、

(a) $\nabla f(-7, 6)$ を求める。

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ をもつ方向 $e$ について $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求める。

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^y \cdot \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^y (x^2 + y^2) - e^y \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = e^y \cdot \frac{x^2 + y^2 - 2y}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、$\nabla f(x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (e^y \cdot \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}, e^y \cdot \frac{x^2 + y^2 - 2y}{(x^2 + y^2)^2})$

$\nabla f(1, 2) = (e^2 \cdot \frac{-2}{(1 + 4)^2}, e^2 \cdot \frac{1 + 4 - 4}{(1 + 4)^2}) = (e^2 \cdot \frac{-2}{25}, e^2 \cdot \frac{1}{25}) = (-\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25})$

(2) $f(x, y) = x^y$ の $\nabla f(1, 2)$ を求める。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x$

したがって、$\nabla f(x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (yx^{y-1}, x^y \ln x)$

$\nabla f(1, 2) = (2 \cdot 1^{2-1}, 1^2 \ln 1) = (2 \cdot 1, 1 \cdot 0) = (2, 0)$

(3) $f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、

(a) $\nabla f(-7, 6)$ を求める。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

したがって、$\nabla f(x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (2x + 3y, 3x + 4y)$

$\nabla f(-7, 6) = (2(-7) + 3(6), 3(-7) + 4(6)) = (-14 + 18, -21 + 24) = (4, 3)$

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ をもつ方向 $e$ について $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求める。

まず、方向ベクトル $(1, 2)$ を単位ベクトルにします。

$\| (1, 2) \| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

したがって、単位ベクトル $e = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$

$\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = \nabla f(-7, 6) \cdot e = (4, 3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

方向微分係数が最大となるのは、単位ベクトル $l$ が勾配ベクトル $\nabla f(-7, 6)$ の方向を向いているときです。

$\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

$\| (4, 3) \| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

したがって、単位ベクトル $l = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

最大となる方向微分係数は $\| \nabla f(-7, 6) \| = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla f(1, 2) = (-\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25})$

(2) $\nabla f(1, 2) = (2, 0)$

(3)

(a) $\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = 2\sqrt{5}$

(c) $l = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$, 方向微分係数 = 5