数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。 $a_1 = 1$ $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

$a_1 = 1$

$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

2. 解き方の手順

まず、$n \geq 2$ のとき、

$(n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k$

が成り立ちます。与えられた漸化式からこの式を引くと、

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2a_n$

となります。整理すると、

$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n = (n+1)a_n$

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n$

となります。これは $n \geq 2$ で成り立つ漸化式です。

$a_2$ は、与えられた漸化式で $n=1$ とすると、

$1 \cdot a_2 = 2 \sum_{k=1}^{1} a_k = 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

より、$a_2 = 2$ です。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = \frac{n}{n-1}a_{n-1} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2}a_{n-2} = \dots = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} \cdots \frac{3}{2} a_2 = \frac{n}{2} a_2 = \frac{n}{2} \cdot 2 = n$

となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ なので、これは $a_n = n$ に含まれます。

3. 最終的な答え

$a_n = n$