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与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}}$ を計算せよ。

代数学複素数平方根有理化
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた式 5−10\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}} を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、−10\sqrt{-10} を 10i\sqrt{10}i と書き換えます。ここで、ii は虚数単位であり、i2=−1i^2 = -1 です。
5−10=510i\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}i}
次に、分母の有理化を行います。分子と分母に ii を掛けます。
510i=5i10i2=5i−10=−5i10\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}i} = \frac{\sqrt{5}i}{\sqrt{10}i^2} = \frac{\sqrt{5}i}{-\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{5}i}{\sqrt{10}}
次に、分母を簡単にします。10=2×5=25\sqrt{10} = \sqrt{2 \times 5} = \sqrt{2}\sqrt{5} なので、
−5i10=−5i25=−i2-\frac{\sqrt{5}i}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{5}i}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = -\frac{i}{\sqrt{2}}
最後に、分母を有理化します。分子と分母に 2\sqrt{2} を掛けます。
−i2=−i222=−2i2-\frac{i}{\sqrt{2}} = -\frac{i\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}i}{2}

3. 最終的な答え

−22i-\frac{\sqrt{2}}{2}i

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