3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

複素数解を持つ実数係数の3次方程式なので、複素共役も解となる。

したがって、$-2-2i$ も解である。

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、$\alpha = -2 + 2i$, $\beta = -2 - 2i$ である。

3次方程式の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$

$\alpha \beta \gamma = -24$

$\alpha \beta = (-2 + 2i)(-2 - 2i) = (-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8$

$\alpha \beta \gamma = 8\gamma = -24$

$\gamma = -3$

$\alpha + \beta = -2 + 2i + (-2 - 2i) = -4$

$\alpha + \beta + \gamma = -4 + (-3) = -7 = -a$

$a = 7$

$\beta \gamma + \gamma \alpha = \gamma (\alpha + \beta) = -3(-4) = 12$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 8 + 12 = 20 = b$

$b = 20$

したがって、$a = 7, b = 20$, 他の解は $\gamma = -3$ である。

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 20$

他の解: $-3$