3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $x = -1$ と $x = 5$ を解に持つとき、定数 $a$、$b$ の値と、もう一つの解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $x = -1$ と $x = 5$ を解に持つとき、定数 $a$、$b$ の値と、もう一つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = -1$ と $x = 5$ が解であることから、それぞれを方程式に代入する。

$x = -1$ のとき:

$(-1)^3 - (-1)^2 + a(-1) + b = 0$

$-1 - 1 - a + b = 0$

$-a + b = 2$ ...(1)

$x = 5$ のとき:

$(5)^3 - (5)^2 + a(5) + b = 0$

$125 - 25 + 5a + b = 0$

$5a + b = -100$ ...(2)

(2) - (1) より:

$(5a + b) - (-a + b) = -100 - 2$

$6a = -102$

$a = -17$

(1)に代入して:

$-(-17) + b = 2$

$17 + b = 2$

$b = 2 - 17$

$b = -15$

よって、方程式は $x^3 - x^2 - 17x - 15 = 0$ となる。$x = -1$と$x=5$を解に持つことから、$x+1$と$x-5$を因数に持つ。よって$(x+1)(x-5)$で割り切れる。

$(x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5$

$x^3 - x^2 - 17x - 15$ を $x^2 - 4x - 5$ で割ると、

$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x^2 - 4x - 5)(x + 3)$

よって、方程式は $(x + 1)(x - 5)(x + 3) = 0$ となる。

したがって、もう一つの解は $x = -3$ である。

3. 最終的な答え

$a = -17$

$b = -15$

他の解: $-3$