3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$ である。

まず、この方程式の整数解を探す。因数定理より、解の候補は定数項の約数である。定数項は-2なので、解の候補は $\pm 1, \pm 2$ である。

$x=1$ のとき、 $1^3 - 5(1)^2 + 6(1) - 2 = 1 - 5 + 6 - 2 = 0$ なので、$x=1$ は解である。

したがって、 $x-1$ は $x^3 - 5x^2 + 6x - 2$ の因数である。

筆算または組み立て除法を用いて、 $x^3 - 5x^2 + 6x - 2$ を $x-1$ で割る。

組み立て除法を用いると以下のようになる。

1 | 1 -5 6 -2

| 1 -4 2

|--------------

1 -4 2 0

よって、$x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = (x-1)(x^2 - 4x + 2)$ と因数分解できる。

したがって、方程式は $(x-1)(x^2 - 4x + 2) = 0$ となる。

$x-1 = 0$ より、$x = 1$ である。

$x^2 - 4x + 2 = 0$ を解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$ である。

したがって、方程式 $x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$ の解は $x = 1, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$x = 1, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$