初項 $a_1=1$ であり、$na_{n+1}=2\sum_{k=1}^n a_k$ (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列 ${a_n}$ の第 n 項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

初項 $a_1=1$ であり、$na_{n+1}=2\sum_{k=1}^n a_k$ (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列 ${a_n}$ の第 n 項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

$na_{n+1}=2\sum_{k=1}^n a_k$ ...(1)

$(n-1)a_n=2\sum_{k=1}^{n-1} a_k$ ...(2) (n >= 2)

(1)-(2) より (n >= 2)

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^n a_k - 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2a_n$

$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n = (n+1)a_n$

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n$

したがって、

$a_n = \frac{n}{n-1}a_{n-1} = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}a_{n-2} = ... = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}...\frac{3}{2}\frac{2}{1}a_1$

$a_n = na_1 = n$

ここで n=1 のとき $a_1=1$ なので、上の式は n=1 でも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n$