数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1=1$, $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n=1, 2, 3, ...$) によって定義されているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_1=1$, $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n=1, 2, 3, ...$) によって定義されているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を書き下します。

$na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$

次に、$n$ を $n-1$ に置き換えた式を求めます。（ただし $n \ge 2$）

$(n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k$

最初の式から2番目の式を引きます。

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^{n} a_k - 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2a_n$

$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n$

$na_{n+1} = (n+1)a_n$

したがって、$a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ となります。

これから、$a_n$ を求めます。$n \ge 2$ に対して、

$a_n = \frac{n}{n-1} a_{n-1} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} a_{n-2} = \cdots = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2} \cdots \frac{2}{1} a_1 = n a_1 = n$

$a_n = n$ が予想されるので、これが正しいことを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であり、$a_n = n$ を満たします。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = k$ であると仮定します。

$n=k+1$ のとき、$ka_{k+1} = 2\sum_{i=1}^{k} a_i = 2\sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)$

$a_{k+1} = \frac{k(k+1)}{k} = k+1$

したがって、$n=k+1$ のときも $a_{k+1} = k+1$ が成り立ちます。

したがって、数学的帰納法により、$a_n = n$ がすべての自然数 $n$ について成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = n$