$x^4 - 9$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 9$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 9$ を因数分解します。

$x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を利用できます。

$A = x^2$、 $B = 3$ とすると、

$x^4 - 9 = (x^2 + 3)(x^2 - 3)$

次に、それぞれの範囲で因数分解を考えます。

* **有理数の範囲**

$x^2 - 3$ を有理数の範囲で因数分解することはできません。なぜなら、$x^2 - 3 = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{3}$ であり、$\sqrt{3}$ は無理数だからです。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 + 3)(x^2 - 3)$ となります。

* **実数の範囲**

$x^2 - 3$ は実数の範囲で因数分解できます。なぜなら、$x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ となるからです。

$x^2 + 3$ は実数の範囲で因数分解できません。なぜなら、$x^2 + 3 = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3}$ であり、これらは虚数だからです。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ となります。

* **複素数の範囲**

$x^2 + 3$ は複素数の範囲で因数分解できます。なぜなら、$x^2 + 3 = (x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})$ となるからです。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})(x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})$ となります。

3. 最終的な答え

* 有理数： $(x^2 + 3)(x^2 - 3)$

* 実数： $(x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

* 複素数： $(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})(x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})$