与えられた3次多項式 $x^3 + 6x^2 - 27$ を、係数の範囲をそれぞれ有理数、実数、複素数とした場合に因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた3次多項式 $x^3 + 6x^2 - 27$ を、係数の範囲をそれぞれ有理数、実数、複素数とした場合に因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 27$ の因数を探します。整数の因数定理により、$f(x) = 0$ となる整数の解の候補は、-27の約数、つまり $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$ です。

$x=3$ を代入すると、

$f(3) = 3^3 + 6(3^2) - 27 = 27 + 54 - 27 = 54 \neq 0$

$x=-3$を代入すると、

$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 - 27 = -27 + 54 - 27 = 0$

したがって、$x = -3$ は $f(x) = 0$ の解であり、$f(x)$ は $(x+3)$ を因数に持ちます。

次に、$f(x)$ を $(x+3)$ で割ります。

\[

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +3x & -9 \\

\cline{2-5}

x+3 & x^3 & +6x^2 & +0x & -27 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +3x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 3x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 3x^2 & +9x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -9x & -27 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -9x & -27 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

\]

よって、$f(x) = (x+3)(x^2 + 3x - 9)$ となります。

次に、$x^2 + 3x - 9 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

したがって、$x^2 + 3x - 9 = (x - \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2})(x - \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2})$

係数の範囲が有理数の場合：

$x^3 + 6x^2 - 27 = (x+3)(x^2 + 3x - 9)$

係数の範囲が実数の場合：

$x^3 + 6x^2 - 27 = (x+3)(x - \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2})(x - \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2})$

係数の範囲が複素数の場合：

実数の場合と同じ。

3. 最終的な答え

有理数: $(x+3)(x^2+3x-9)$

実数: $(x+3)(x-\frac{-3+3\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-3-3\sqrt{5}}{2})$

複素数: $(x+3)(x-\frac{-3+3\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-3-3\sqrt{5}}{2})$