数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ と漸化式 $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められているとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ と漸化式 $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められているとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式から $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係を導き出す。

$na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ...(1)

$(n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k$ ($n \ge 2$) ...(2)

(1) - (2) より、

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2a_n$ ($n \ge 2$)

$na_{n+1} = (n+1)a_n$ ($n \ge 2$)

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ ($n \ge 2$)

したがって、 $a_{n+1} = \frac{n+1}{n} a_n$ という漸化式が得られた。

ここで、 $a_1 = 1$ である。

$n=1$ のとき、$a_2 = \frac{2}{1}a_1 = 2$。

$n=2$ のとき、$a_3 = \frac{3}{2}a_2 = \frac{3}{2} \times 2 = 3$。

$n=3$ のとき、$a_4 = \frac{4}{3}a_3 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$。

このことから、$a_n = n$ ($n \ge 1$) と推測できる。

次に、数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 1$ であり、$a_n = n$ が成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = k$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{k+1}{k} a_k = \frac{k+1}{k} \times k = k+1$。

したがって、$n=k+1$ のときも、$a_n = n$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n$