$x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$、$y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ とする。 (1) $x+y$, $xy$, $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めよ。 (2) $x$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$b^2 - a - b$ の値を求めよ。 (3) (2) のとき、不等式 $|b^2 - a - b| < p < k(\frac{y}{x} + \frac{x}{y})$ を満たす整数 $p$ がちょうど 5 個あるように、定数 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$、$y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ とする。

(1) $x+y$, $xy$, $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めよ。

(2) $x$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$b^2 - a - b$ の値を求めよ。

(3) (2) のとき、不等式 $|b^2 - a - b| < p < k(\frac{y}{x} + \frac{x}{y})$ を満たす整数 $p$ がちょうど 5 個あるように、定数 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2-1} = 2 + \sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2-1} = 2 - \sqrt{2}$

$x+y = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$

$xy = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{4^2 - 2(2)}{2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

(2)

$x = 2 + \sqrt{2}$ であり、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$x \approx 3.414$ である。

したがって、$x$ の整数部分は $a = 3$ であり、小数部分は $b = x - a = (2 + \sqrt{2}) - 3 = \sqrt{2} - 1$ である。

$b^2 - a - b = (\sqrt{2} - 1)^2 - 3 - (\sqrt{2} - 1) = (2 - 2\sqrt{2} + 1) - 3 - \sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 3 - \sqrt{2} + 1 = 1 - 3\sqrt{2}$

(3)

$|b^2 - a - b| = |1 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 1$

$k(\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = 6k$

したがって、不等式は $3\sqrt{2} - 1 < p < 6k$ となる。

$3\sqrt{2} - 1 \approx 3(1.414) - 1 = 4.242 - 1 = 3.242$

不等式を満たす整数 $p$ が 5 個であるためには、$p$ は $4, 5, 6, 7, 8$ でなければならない。

したがって、$3.242 < 4, 5, 6, 7, 8 < 6k$ であり、$8 < 6k \leq 9$ である必要がある。

$\frac{8}{6} < k \leq \frac{9}{6}$

$\frac{4}{3} < k \leq \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 4$, $xy = 2$, $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 6$

(2) $b^2 - a - b = 1 - 3\sqrt{2}$

(3) $\frac{4}{3} < k \leq \frac{3}{2}$