極方程式 $r^2 \cos 2\theta = 1$ を直交座標の方程式 $Ax^2 - By^2 = 1$ の形に変形し、$A$ と $B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極方程式 $r^2 \cos 2\theta = 1$ を直交座標の方程式 $Ax^2 - By^2 = 1$ の形に変形し、$A$ と $B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いて、極方程式を書き換えます。

$r^2 \cos 2\theta = r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$

ここで、直交座標と極座標の関係 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いると、$\cos \theta = \frac{x}{r}$, $\sin \theta = \frac{y}{r}$ となります。これらを代入します。

$r^2 \left( \left( \frac{x}{r} \right)^2 - \left( \frac{y}{r} \right)^2 \right) = 1$

$r^2 \left( \frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} \right) = 1$

$r^2 \cdot \frac{x^2 - y^2}{r^2} = 1$

$x^2 - y^2 = 1$

したがって、$A = 1$, $B = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：1