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与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

代数学二次関数平方完成最大値最小値
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値と、そのときの xx の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) y=3x2+6x+5y = 3x^2 + 6x + 5 の場合
まず、平方完成を行う。
y=3(x2+2x)+5y = 3(x^2 + 2x) + 5
y=3(x2+2x+1−1)+5y = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5
y=3((x+1)2−1)+5y = 3((x+1)^2 - 1) + 5
y=3(x+1)2−3+5y = 3(x+1)^2 - 3 + 5
y=3(x+1)2+2y = 3(x+1)^2 + 2
x=−1x = -1 のとき、最小値 2 をとる。
(2) y=−x2+2x+1y = -x^2 + 2x + 1 の場合
まず、平方完成を行う。
y=−(x2−2x)+1y = -(x^2 - 2x) + 1
y=−(x2−2x+1−1)+1y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1
y=−((x−1)2−1)+1y = -((x-1)^2 - 1) + 1
y=−(x−1)2+1+1y = -(x-1)^2 + 1 + 1
y=−(x−1)2+2y = -(x-1)^2 + 2
x=1x = 1 のとき、最大値 2 をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 2 (x=−1x = -1 のとき)
(2) 最大値: 2 (x=1x = 1 のとき)

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