複素数 $z$ であって、$z^2 = 5 + 12i$ を満たすものを求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ であって、$z^2 = 5 + 12i$ を満たすものを求める問題です。

2. 解き方の手順

求める複素数 $z$ を $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおきます。

すると、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ となります。

$z^2 = 5 + 12i$ なので、実部と虚部を比較して、

$x^2 - y^2 = 5$

$2xy = 12$

という2つの式が得られます。

2番目の式から、$xy = 6$ なので、$y = \frac{6}{x}$ となります。

これを1番目の式に代入すると、

$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$

両辺に $x^2$ をかけると、

$x^4 - 36 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

これは $x^2$ に関する2次方程式なので、$X = x^2$ とおくと、

$X^2 - 5X - 36 = 0$

$(X - 9)(X + 4) = 0$

$X = 9, -4$

$x^2 = 9, -4$

$x$ は実数なので、$x^2 \ge 0$ であるから、$x^2 = 9$ となります。

よって、$x = \pm 3$ となります。

$y = \frac{6}{x}$ なので、

$x = 3$ のとき、$y = \frac{6}{3} = 2$

$x = -3$ のとき、$y = \frac{6}{-3} = -2$

したがって、$z = 3 + 2i$ または $z = -3 - 2i$ となります。

3. 最終的な答え

$z = 3 + 2i, -3 - 2i$