媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の式 $x = \frac{2(1-t^2)}{1+t^2}$ $y = \frac{2t}{1+t^2}$ が表す曲線を求め、楕円の式 $x^2 + Ay^2 = I$ の形に表し、$A$ と $I$ の値を求める問題。 また、除外される点の座標を求める問題。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の式

$x = \frac{2(1-t^2)}{1+t^2}$

$y = \frac{2t}{1+t^2}$

が表す曲線を求め、楕円の式 $x^2 + Ay^2 = I$ の形に表し、$A$ と $I$ の値を求める問題。

また、除外される点の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = \left(\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}\right)^2 = \frac{4(1-2t^2+t^4)}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}$

$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{4(1-2t^2+t^4)}{(1+t^2)^2} + \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{4(1-2t^2+t^4+t^2)}{(1+t^2)^2} = \frac{4(1-t^2+t^4)}{(1+t^2)^2}$

ここで、$x^2+y^2$ の計算がうまくいかないため、別の方法を試します。

$x = \frac{2(1-t^2)}{1+t^2}$、 $y = \frac{2t}{1+t^2}$ より、三角関数の加法定理の公式を思い出します。

$x = 2\cos(2\theta), y = 2\sin(2\theta)$ となります。

媒介変数 $t = tan(\theta)$ とすると

$\cos(2\theta) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(2\theta) = \frac{2t}{1+t^2}$

なので、

$x = 2\cos(2\theta)$

$y = 2\sin(2\theta)$

となります。

ここで、$x/2 = \cos(2\theta)$、$y/2 = \sin(2\theta)$ であるから、$\cos^2(2\theta) + \sin^2(2\theta) = 1$ を利用すると、

$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$

$x^2 + y^2 = 4$

となります。

$x^2 + y^2 = 4$ は半径2の中心が原点の円を表します。

与えられた形式の楕円の式と比較すると、$A=1$、$I=4$となります。

次に除外される点を求めます。

$x^2+y^2=4$において、tの値に関わらず、$(x,y)$が取り得ない値を考えます。

$t$ がどんな値をとっても $1+t^2$ は0にならないので、$x$ と $y$ の値が定義されないことはありません。

しかし、 $t=0$ のとき $x=2$ , $y=0$ですが、$t$が無限大に近づくと、$x$は-2に近づき、$y$は0に近づきます。

$t$ はすべての実数をとるので、$x$ は -2 から 2 の間を取り得ますが、 $x = -2$ となる $t$ の値は存在しません。

$t = \infty$ と考えると $x = -2$, $y = 0$ になるため、点 $(-2, 0)$ は除外されることになります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 4

ウ: -2

エ: 0