複数の数学の問題が提示されています。内容は、2次方程式の解と係数の関係、因数分解、多項式の割り算と余りに関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 2次方程式の解 $\alpha, \beta$ を用いた式の値の計算 * 条件を満たす2次方程式の解と定数の決定 * 多項式を1次式で割った余りの計算 * 多項式が与えられた1次式で割り切れるような定数の決定 * 多項式の因数分解 * 多項式を異なる1次式で割った余りから多項式を決定する問題

1. 問題の内容

複数の数学の問題が提示されています。内容は、2次方程式の解と係数の関係、因数分解、多項式の割り算と余りに関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 2次方程式の解 $\alpha, \beta$ を用いた式の値の計算

* 条件を満たす2次方程式の解と定数の決定

* 多項式を1次式で割った余りの計算

* 多項式が与えられた1次式で割り切れるような定数の決定

* 多項式の因数分解

* 多項式を異なる1次式で割った余りから多項式を決定する問題

2. 解き方の手順

問題ごとに解き方を説明します。

**問題1:**

* $x^2 - 2x + 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2$、$\alpha \beta = 3$ である。

* $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

* $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 2^2 - 4(3) = 4 - 12 = -8$

* $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 3(2) = 6$

* $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 2^3 - 3(3)(2) = 8 - 18 = -10$

* $(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$

* $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

* $\alpha - \beta = \pm \sqrt{(\alpha - \beta)^2} = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

**問題2:**

* $x^2 - 6x + m = 0$ の解を求める。

(1) 解の1つが他の解の2倍であるとき、解を $\alpha, 2\alpha$ とおくと、解と係数の関係より、$\alpha + 2\alpha = 6$、$\alpha \cdot 2\alpha = m$。よって、$3\alpha = 6$ より $\alpha = 2$。$m = 2\alpha^2 = 2(2^2) = 8$。解は $\alpha=2$、$2\alpha=4$。

(2) 解の差が4であるとき、解を $\alpha, \alpha+4$ とおくと、解と係数の関係より、$\alpha + (\alpha+4) = 6$、$\alpha (\alpha+4) = m$。よって、$2\alpha + 4 = 6$ より $2\alpha = 2$、$\alpha = 1$。$m = \alpha (\alpha+4) = 1(1+4) = 5$。解は $\alpha=1$、$\alpha+4=5$。

**問題3:**

* 多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ である（剰余の定理）。

(1) $P(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 3$ を $x-1$ で割った余りは、$P(1) = 1^3 - 2(1^2) + 2(1) - 3 = 1 - 2 + 2 - 3 = -2$

(2) $P(x) = 6x^3 - 5x^2 + 3$ を $x-2$ で割った余りは、$P(2) = 6(2^3) - 5(2^2) + 3 = 6(8) - 5(4) + 3 = 48 - 20 + 3 = 31$

**問題4:**

* $P(x)$ が $x-a$ で割り切れる $\Leftrightarrow P(a) = 0$

* $P(x)$ を $x-a$ で割った余りが $r$ である $\Leftrightarrow P(a) = r$

(1) $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x-2$ で割り切れるので、$P(2) = 0$。$2^3 - a(2) - 2 = 0$ より $8 - 2a - 2 = 0$、$6 = 2a$、$a = 3$

(2) $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ を $x-3$ で割ると1余るので、$P(3) = 1$。$3^3 + a(3^2) + 3(3) + 1 = 1$ より $27 + 9a + 9 + 1 = 1$、$9a = -36$、$a = -4$

**問題5:**

* 因数分解を行う。

(1) $x^3 + 2x^2 - x - 2$ を因数定理を用いて解く。$P(1) = 1+2-1-2=0$ より、$x-1$を因数に持つ。組み立て除法により、$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x-1)(x^2 + 3x + 2) = (x-1)(x+1)(x+2)$

(2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数定理を用いて解く。$P(-1) = -2 + 5 - 1 -2 = 0$ より、$x+1$ を因数に持つ。組み立て除法により、$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x+1)(2x^2 + 3x - 2) = (x+1)(2x-1)(x+2)$

**問題6:**

* $P(x) = 4x^3 + x + 1$ が $2x+1$ を因数に持つことを示す。

$2x+1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$ を $P(x)$ に代入する。

$P(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0$。よって $2x+1$ を因数に持つ。

$4x^3 + x + 1 = (2x+1)(2x^2 - x + 1)$

**問題7:**

* 多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 + 3x - 5$ について、$P(2) = 5$、$P(-3) = -50$ を利用して $a, b$ の値を求める。

$P(2) = 8a + 4b + 6 - 5 = 5$ より $8a + 4b = 4$、$2a + b = 1$

$P(-3) = -27a + 9b - 9 - 5 = -50$ より $-27a + 9b = -36$、$-3a + b = -4$

$2a + b = 1$、$-3a + b = -4$ の連立方程式を解く。

$(2a+b) - (-3a+b) = 1 - (-4)$ より $5a = 5$、$a = 1$

$2(1) + b = 1$ より $b = -1$

**問題8:**

* $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが 3 であるから、$P(1) = 3$。$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが -5 であるから、$P(-3) = -5$。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った余りを $ax + b$ とおく。

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(1) = a + b = 3$

$P(-3) = -3a + b = -5$

$a+b = 3$、$-3a+b = -5$ の連立方程式を解く。

$(a+b) - (-3a+b) = 3 - (-5)$ より $4a = 8$、$a = 2$

$2 + b = 3$ より $b = 1$

よって、余りは $2x + 1$

3. 最終的な答え

**問題1:**

(1) -2

(2) -8

(3) 6

(4) -10

(5) 6

(6) -2/3

(7) $\pm 2\sqrt{2}i$

**問題2:**

(1) m=8, 解は 2, 4

(2) m=5, 解は 1, 5

**問題3:**

(1) -2

(2) 31

**問題4:**

(1) a=3

(2) a=-4

**問題5:**

(1) (x-1)(x+1)(x+2)

(2) (x+1)(2x-1)(x+2)

**問題6:**

(2x+1)(2x^2 - x + 1)

**問題7:**

a=1, b=-1

**問題8:**

2x+1