与えられた2次式 $x^2 - 6x + 7$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 - 6x + 7$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この2次式は、整数係数の範囲では因数分解できません。なぜなら、因数分解できるとすると、

$x^2 - 6x + 7 = (x - a)(x - b)$

となる整数 $a$ と $b$ が存在することになります。展開すると、

$x^2 - (a + b)x + ab = x^2 - 6x + 7$

よって、

$a + b = 6$

$ab = 7$

を満たす必要があります。$ab=7$ を満たす整数 $a, b$ の組み合わせは $(1, 7)$ または $(-1, -7)$ のいずれかですが、これらの組み合わせでは $a + b = 6$ を満たすことはありません。

そこで、解の公式を利用して、まず $x^2 - 6x + 7 = 0$ の解を求めます。解の公式は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられるというものです。

この問題の場合、$a = 1, b = -6, c = 7$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 3 \pm \sqrt{2}$

したがって、解は $x = 3 + \sqrt{2}$ と $x = 3 - \sqrt{2}$ です。

したがって、$x^2 - 6x + 7$ は次のように因数分解できます。

$x^2 - 6x + 7 = (x - (3 + \sqrt{2}))(x - (3 - \sqrt{2}))$

$x^2 - 6x + 7 = (x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$(x - 3 - \sqrt{2})(x - 3 + \sqrt{2})$

または

$(x - (3 + \sqrt{2}))(x - (3 - \sqrt{2}))$