$x^4 + 2x^2 - 8$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 + 2x^2 - 8$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 + 2x^2 - 8$ を因数分解します。

$x^2 = y$ とおくと、

$y^2 + 2y - 8$ となります。

これは $(y+4)(y-2)$ と因数分解できます。

したがって、元の式は $(x^2+4)(x^2-2)$ となります。

有理数の範囲では、$x^2-2$ は因数分解できません。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2+4)(x^2-2)$ となります。

実数の範囲では、$x^2-2$ は $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ と因数分解できます。

$x^2+4$ は $x^2 - (-4)$ と考えれば、$x^2 - (2i)^2$ なので、$(x-2i)(x+2i)$ と因数分解できます。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x^2+4)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ となります。

複素数の範囲では、$x^2+4$ は $(x-2i)(x+2i)$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x-2i)(x+2i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ となります。

3. 最終的な答え

有理数：$(x^2+4)(x^2-2)$

実数：$(x^2+4)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$

複素数：$(x-2i)(x+2i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$