媒介変数表示された式 $x = t + \frac{1}{t} + 1$ $y = t^2 + \frac{1}{t^2}$ が表す曲線を、$y = (x - \text{ア})^2 - \text{イ}$の形式で表し、さらに$x$の範囲$\text{ウ} \leq x \leq \text{エ}$を求める。

1. 問題の内容

媒介変数表示された式

$x = t + \frac{1}{t} + 1$

$y = t^2 + \frac{1}{t^2}$

が表す曲線を、$y = (x - \text{ア})^2 - \text{イ}$の形式で表し、さらに$x$の範囲$\text{ウ} \leq x \leq \text{エ}$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$x$で表すことを考える。

$x = t + \frac{1}{t} + 1$より、$x - 1 = t + \frac{1}{t}$である。

両辺を2乗すると、

$(x - 1)^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$y = t^2 + \frac{1}{t^2}$なので、$y = (x - 1)^2 - 2$となる。

次に、$x$の範囲を考える。

$x = t + \frac{1}{t} + 1$において、$t > 0$のとき相加相乗平均の不等式より、$t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$。

したがって、$x \geq 2 + 1 = 3$。

$t < 0$のとき、$t + \frac{1}{t} \leq -2$なので、$x \leq -2 + 1 = -1$。

$x$の範囲は$x \leq -1, 3 \leq x$となる。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: -1

エ: 3

したがって、答えは以下の通りです。

放物線 $y = (x - 1)^2 - 2$

ただし、$x \leq -1, 3 \leq x$