二次式 $x^2 - 4x + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

二次式 $x^2 - 4x + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

この二次式は因数分解できないため、解の公式を利用して解を求め、そこから因数分解の形に導く。

まず、二次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解を求める。解の公式は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

今回の問題では、$a = 1, b = -4, c = 1$ なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、解は $x = 2 + \sqrt{3}$ と $x = 2 - \sqrt{3}$ である。

これら2つの解を$\alpha = 2 + \sqrt{3}$, $\beta = 2 - \sqrt{3}$ とすると、二次式 $x^2 - 4x + 1$ は $(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できる。

つまり、$x^2 - 4x + 1 = (x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3}))$

整理すると、

$x^2 - 4x + 1 = (x - 2 - \sqrt{3})(x - 2 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$(x - 2 - \sqrt{3})(x - 2 + \sqrt{3})$