媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = t + \frac{1}{t}$, $y = t - \frac{1}{t}$, ($t > 0$) が与えられている。この曲線が双曲線 $x^2 - y^2 = \text{ア}$ で表されるとき、アに入る値を求め、また $x$ の取りうる値の範囲、すなわち $x \ge \text{イ}$ のイに入る値を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線

$x = t + \frac{1}{t}$,

$y = t - \frac{1}{t}$,

($t > 0$)

が与えられている。この曲線が双曲線 $x^2 - y^2 = \text{ア}$ で表されるとき、アに入る値を求め、また $x$ の取りうる値の範囲、すなわち $x \ge \text{イ}$ のイに入る値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ を計算する。

$x^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$y^2 = (t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) = 4$

次に、$x = t + \frac{1}{t}$ の取りうる値の範囲を求める。$t > 0$ であることに注意する。相加相乗平均の関係より、

$t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$

等号成立は $t = \frac{1}{t}$ つまり $t^2 = 1$ のとき。$t > 0$ より $t = 1$。

したがって、$x \ge 2$。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 2