与えられた漸化式から、$a_n = n$ という一般項を推定し、それが数学的帰納法によって正しいことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式から、$a_n = n$ という一般項を推定し、それが数学的帰納法によって正しいことを示す問題です。

2. 解き方の手順

(i) $n=1$ のとき、$a_1=1$ となり、$a_n = n$ は成り立つことを示します。

(ii) $n=1, 2, ..., k$ ($k \ge 1$) のとき、$a_n = n$ が成り立つと仮定します。つまり、$a_1 = 1, a_2 = 2, ..., a_k = k$ が成り立つと仮定します。

この仮定の下で、$a_{k+1} = k+1$ が成り立つことを示します。

漸化式より、

$a_{k+1} = \frac{2}{k} \sum_{l=1}^k a_l$

帰納法の仮定より、$a_l = l$ なので、

$a_{k+1} = \frac{2}{k} \sum_{l=1}^k l = \frac{2}{k} \cdot \frac{1}{2}k(k+1) = k+1$

したがって、$n=k+1$ のときも $a_n = n$ は成り立ちます。

(i), (ii) より、すべての正の整数 $n$ に対して、$a_n = n$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = n$