与えられた方程式 $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{1 + 2x + x^2} = 5$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{1 + 2x + x^2} = 5$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、平方根の中身を因数分解します。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$1 + 2x + x^2 = (x + 1)^2$

よって、与えられた方程式は次のようになります。

$\sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x + 1)^2} = 5$

絶対値を用いて、平方根を外すと、

$|x - 2| + |x + 1| = 5$

絶対値を含む方程式なので、場合分けを行います。

(i) $x < -1$ のとき

$-(x - 2) - (x + 1) = 5$

$-x + 2 - x - 1 = 5$

$-2x + 1 = 5$

$-2x = 4$

$x = -2$

これは $x < -1$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $-1 \leq x < 2$ のとき

$-(x - 2) + (x + 1) = 5$

$-x + 2 + x + 1 = 5$

$3 = 5$

これは成り立たないので、解はありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき

$(x - 2) + (x + 1) = 5$

$x - 2 + x + 1 = 5$

$2x - 1 = 5$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $x \geq 2$ を満たすので、解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -2, 3$