$(4x^3 - 3x^2 + 1)^5$ の展開式における定数項を求める問題です。

1. 問題の内容

$(4x^3 - 3x^2 + 1)^5$ の展開式における定数項を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて $(4x^3 - 3x^2 + 1)^5$ を展開します。

$(4x^3 - 3x^2 + 1)^5$ の展開式は、一般に以下の形で表されます。

$$\frac{5!}{p!q!r!} (4x^3)^p (-3x^2)^q (1)^r$$

ここで、 $p, q, r$ は非負整数であり、$p + q + r = 5$ を満たします。

定数項となるためには、 $x$ の指数が 0 でなければなりません。

つまり、$3p + 2q = 0$ となる必要があります。

$p, q$ は非負整数なので、$3p + 2q = 0$ を満たすのは、$p = 0$ かつ $q = 0$ の場合のみです。

したがって、$p = 0, q = 0$ のとき、$r = 5$ となります。

このとき、展開式の項は

$$\frac{5!}{0!0!5!} (4x^3)^0 (-3x^2)^0 (1)^5 = \frac{5!}{1 \cdot 1 \cdot 120} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

したがって、定数項は 1 です。

$(4x^3 - 3x^2 + 1)^5$の展開における一般項は

$$\frac{5!}{p!q!r!} (4x^3)^p(-3x^2)^q(1)^r$$

ここで、$p+q+r=5$を満たす非負整数$p,q,r$です。定数項を求めるので、

$3p+2q=0$

$p,q$は非負整数なので、$p=0, q=0$が必要となります。

よって、$r=5$となります。

したがって、定数項は

$$\frac{5!}{0!0!5!}(4x^3)^0(-3x^2)^0(1)^5 = \frac{5!}{1\cdot 1\cdot 120}(1)(1)(1) = 1$$

3. 最終的な答え

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