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$x = \sqrt{5} + 2$、 $y = \sqrt{5} - 2$ のとき、式 $xy - y^2$ の値を求める問題です。

代数学式の計算平方根展開
2025/3/30

1. 問題の内容

x=5+2x = \sqrt{5} + 2、 y=5−2y = \sqrt{5} - 2 のとき、式 xy−y2xy - y^2 の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、xyxy の値を計算します。
xy=(5+2)(5−2)=(5)2−22=5−4=1xy = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
次に、y2y^2 の値を計算します。
y2=(5−2)2=(5)2−2⋅5⋅2+22=5−45+4=9−45y^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}
したがって、xy−y2xy - y^2 は
xy−y2=1−(9−45)=1−9+45=−8+45=45−8xy - y^2 = 1 - (9 - 4\sqrt{5}) = 1 - 9 + 4\sqrt{5} = -8 + 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 8

3. 最終的な答え

45−84\sqrt{5} - 8

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