$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるような定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - 7x + 12$ を因数分解すると、

$$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$$

$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるということは、$x^3 + ax^2 - 2x + b$ は $(x - 3)$ と $(x - 4)$ で割り切れるということである。

したがって、$x = 3$ と $x = 4$ を代入すると、余りは0になる。

$x = 3$ のとき、

$$3^3 + a(3^2) - 2(3) + b = 0$$

$$27 + 9a - 6 + b = 0$$

$$9a + b + 21 = 0$$

$$9a + b = -21 \qquad (1)$$

$x = 4$ のとき、

$$4^3 + a(4^2) - 2(4) + b = 0$$

$$64 + 16a - 8 + b = 0$$

$$16a + b + 56 = 0$$

$$16a + b = -56 \qquad (2)$$

(2) - (1) より

$$16a + b - (9a + b) = -56 - (-21)$$

$$7a = -35$$

$$a = -5$$

これを(1)に代入すると

$$9(-5) + b = -21$$

$$-45 + b = -21$$

$$b = -21 + 45$$

$$b = 24$$

したがって、$a = -5$, $b = 24$

3. 最終的な答え

$a = -5, b = 24$