3次式 $x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて因数を見つけます。定数項は-30なので、その約数 (±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30) を代入して $x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = 0$ となる $x$ を探します。

$x = 3$ を代入すると、

$3^3 + 4(3^2) - 11(3) - 30 = 27 + 36 - 33 - 30 = 0$

となるので、$x - 3$ は与式の因数です。

次に、多項式 $x^3 + 4x^2 - 11x - 30$ を $x - 3$ で割ります。

```

x^2 + 7x + 10

x - 3 | x^3 + 4x^2 - 11x - 30

-(x^3 - 3x^2)

----------------

7x^2 - 11x

-(7x^2 - 21x)

----------------

10x - 30

-(10x - 30)

----------------

0

```

したがって、$x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x - 3)(x^2 + 7x + 10)$となります。

さらに、$x^2 + 7x + 10$ を因数分解します。

$x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$

よって、$x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x - 3)(x + 2)(x + 5)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 2)(x + 5)$