与えられた式 $4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} \cdot 3^n$ を簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} \cdot 3^n$ を簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を書き出します。

$4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} \cdot 3^n$

指数の性質を利用して変形します。$(\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}$ と書き換えます。

$4 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} \cdot 3^n$

$3^n$ を $3^{n-1} \cdot 3$ と書き換えます。

$4 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} \cdot 3^{n-1} \cdot 3$

$3^{n-1}$ が分子と分母で相殺されます。

$4 \cdot 2^{n-1} \cdot 3$

$4 \cdot 3 = 12$ であるので、

$12 \cdot 2^{n-1}$

$12$を$3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$ と書き換えます。

$3 \cdot 2^2 \cdot 2^{n-1}$

指数の性質を利用して、 $2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{2 + n - 1} = 2^{n+1}$ となります。

$3 \cdot 2^{n+1}$

3. 最終的な答え

$3 \cdot 2^{n+1}$