$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ かつ $\cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ かつ $\cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係式

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

を利用して $\sin \theta$ の値を求めます。

$\cos \theta = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{9}{16} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16-9}{16} = \frac{7}{16}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\sin \theta \geq 0$ なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ の値を計算します。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$