3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解きます。複数の解がある場合は、カンマ(,)で区切って答えます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解きます。複数の解がある場合は、カンマ(,)で区切って答えます。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ の解を探します。整数解の候補は、定数項-6の約数です。

約数は ±1, ±2, ±3, ±6 です。これらの値を $x$ に代入して方程式が成り立つかどうかを試します。

$x = 1$ のとき、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = 1 - 1 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x = -1$ のとき、 $(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$

$x = 2$ のとき、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

したがって、$x = 2$ はこの方程式の解の一つです。

次に、与えられた3次式を $(x - 2)$ で割ります。

$x^3 - x^2 + x - 6$ を $(x - 2)$ で割ると、$x^2 + x + 3$ になります。

(x^3 - x^2 + x - 6) / (x - 2) = x^2 + x + 3

よって、$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$ と因数分解できます。

したがって、方程式は $(x - 2)(x^2 + x + 3) = 0$ となります。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ が解の一つです。

次に、$x^2 + x + 3 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = 1, c = 3$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ が解になります。

3. 最終的な答え

$2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$